Mengenal Metode Newton-Raphson dan Implementasinya dalam Excel
Metode Newton-Raphson adalah salah satu teknik iterasi numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika, seperti mencari titik mati, akar persamaan, titik minimum atau maksimum, serta menyelesaikan sistem persamaan non linear. Metode ini sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan yang sulit dipecahkan secara analitik. Dalam artikel ini, kita akan membahas metode Newton-Raphson secara lebih detail dan cara implementasinya dalam Microsoft Excel.
Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson pertama kali ditemukan oleh Isaac Newton dan Joseph Raphson pada abad ke-17. Metode ini berdasarkan pada pendekatan linearisasi untuk mencari akar persamaan non-linear. Ide dasar dari metode ini adalah dengan memilih tebakan awal yang baik, kita dapat menciptakan sebuah deret iterasi yang konvergen ke akar persamaan. Secara sederhana, metode ini dapat dijelaskan dengan prinsip iterasi berikut:
1. Tentukan tebakan awal x0.
2. Hitung nilai f(x0) dan f'(x0).
3. Lalu hitung nilai x1 = x0 – f(x0) / f'(x0).
4. Hitung nilai f(x1) dan f'(x1).
5. Kemudian hitung nilai x2 = x1 – f(x1) / f'(x1) dan seterusnya.
Secara matematis, proses iterasi ini dapat ditulis sebagai berikut:
xn+1 = xn – f(xn) / f'(xn)
Dimana:
xn : tebakan awal
xn+1 : tebakan berikutnya
f(xn) : nilai fungsi pada xn
f'(xn) : turunan fungsi pada xn
Metode Newton-Raphson sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear berikut:
f(x) = 0
Contohnya, misalkan kita ingin mencari akar persamaan x^3 – 2x^2 + 1 = 0, maka kita dapat menerapkan metode Newton-Raphson sebagai berikut:
1. Tentukan tebakan awal.
Misalkan kita memilih tebakan awal x0 = 1.5.
2. Hitung nilai fungsi pada tebakan awal.
f(x0) = (1.5)^3 – 2(1.5)^2 + 1 = 0.375
3. Hitung turunan fungsi pada tebakan awal.
f'(x0) = 3(1.5)^2 – 4(1.5) = -1.75
4. Hitung tebakan berikutnya.
x1 = x0 – f(x0) / f'(x0)
= 1.5 – 0.375 / (-1.75)
= 1.714285714
5. Hitung nilai fungsi pada tebakan berikutnya.
f(x1) = (1.714285714)^3 – 2(1.714285714)^2 + 1 = -0.057823129
6. Hitung turunan fungsi pada tebakan berikutnya.
f'(x1) = 3(1.714285714)^2 – 4(1.714285714) = -1.12719423
7. Hitung tebakan selanjutnya.
x2 = x1 – f(x1) / f'(x1)
= 1.714285714 – (-0.057823129) / (-1.12719423)
= 1.787247201
8. Ulangi langkah 5-7 hingga diperoleh nilai x yang cukup akurat.
Implementasi Metode Newton-Raphson dalam Excel
Metode Newton-Raphson dapat diimplementasikan dalam Microsoft Excel dengan menggunakan rumus dan fungsi yang tersedia di dalamnya. Dalam melakukan implementasi ini, kita perlu memperhatikan beberapa hal sebagai berikut:
1. Menentukan tebakan awal.
Untuk menentukan tebakan awal, kita perlu memiliki pemahaman yang baik mengenai persamaan yang akan dipecahkan. Kita juga dapat menggunakan bantuan fitur solver atau goal seek dalam hal ini.
2. Menentukan batas iterasi.
Dalam melakukan iterasi, kita perlu menentukan batas iterasi agar proses tidak berlangsung terus menerus dan mengambil waktu yang lama. Batas iterasi yang umum digunakan adalah sekitar 100 atau lebih tergantung kompleksitas persoalan.
3. Menentukan nilai toleransi.
Toleransi merupakan nilai kesalahan yang diperbolehkan dalam iterasi. Semakin kecil nilai toleransi yang digunakan, semakin akurat hasil yang diperoleh. Nilai toleransi yang umum digunakan adalah sekitar 0,0001 atau lebih tergantung kompleksitas persoalan.
Dalam membuat implementasi metode Newton-Raphson dalam Excel, biasanya kita menggunakan rumus seperti berikut:
Xn+1 = Xn – f(Xn) / f'(Xn)
Dimana:
Xn : tebakan awal
Xn+1 : tebakan berikutnya
f(Xn) : nilai fungsi pada Xn
f'(Xn) : turunan fungsi pada Xn
Berikut adalah contoh penggunaan rumus tersebut dalam Excel untuk mencari akar persamaan x^3 – 2x^2 + 1 = 0:
1. Tentukan sel yang akan digunakan untuk tebakan awal (misalnya A1), nilai toleransi (B1), dan batas iterasi (C1).
2. Tentukan sel untuk nilai fungsi persamaan (D1) dengan rumus seperti berikut: =A1^3-2*A1^2+1
3. Tentukan sel untuk turunan fungsi persamaan (E1) dengan rumus seperti berikut: =3*A1^2-4*A1
4. Tentukan sel untuk tebakan berikutnya (F1) dengan rumus seperti berikut: =A1-D1/E1
5. Tentukan sel untuk nilai fungsi pada tebakan berikutnya (G1) dengan rumus seperti berikut: =F1^3-2*F1^2+1
6. Tentukan sel untuk turunan fungsi pada tebakan berikutnya (H1) dengan rumus seperti berikut: =3*F1^2-4*F1
7. Ulangi langkah 4-6 hingga diperoleh nilai x yang cukup akurat atau nilai toleransi sudah terpenuhi atau batas iterasi tercapai.
FAQ
Q: Apa yang dimaksud dengan metode Newton-Raphson?
A: Metode Newton-Raphson adalah salah satu teknik iterasi numerik yang sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika, seperti mencari titik mati, akar persamaan, titik minimum atau maksimum, serta menyelesaikan sistem persamaan non linear. Metode ini sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan yang sulit dipecahkan secara analitik.
Q: Apa keunggulan dari metode Newton-Raphson?
A: Keunggulan dari metode Newton-Raphson adalah kemampuannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear dengan metode iterasi yang cepat dan efektif. Metode ini lebih efisien daripada metode iterasi lainnya, seperti metode bisection atau metode regula falsi, karena dapat menemukan akar persamaan dengan cepat dan dalam beberapa iterasi saja. Selain itu, metode Newton-Raphson dapat diaplikasikan pada berbagai masalah matematika yang melibatkan persamaan non-linear.
Video Referensi
Berikut adalah video yang dapat membantu Anda memahami konsep dan implementasi metode Newton-Raphson dalam Excel:
– Metode De Newton Raphson Demostracion Y Ejemplo En Excel Youtube
– NEWTON RAPHSON CON EXCEL en HD – YouTube
– Mètodo de Newton Raphson en Excel facil y rápido – YouTube
– Newton-Raphson method using Excel – YouTube
Kesimpulan
Metode Newton-Raphson merupakan salah satu teknik iterasi numerik yang sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang melibatkan persamaan non-linear. Dalam implementasinya, metode ini dapat digunakan dalam Microsoft Excel dengan menggunakan rumus dan fungsi bawaan. Dengan mengetahui cara mengimplementasikan metode Newton-Raphson dalam Excel, kita dapat mempercepat proses menyelesaikan masalah matematika yang melibatkan persamaan non-linear dan efektif dalam menemukan akar persamaan atau titik mati yang dibutuhkan.
