Metode Numerik: Pengenalan dan Contoh Penggunaan Metode Biseksi dan Regula Falsi
Metode numerik adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan matematika secara numerik, yaitu dengan menggunakan angka atau data. Selain itu, metode numerik juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan matematika yang sulit atau tidak dapat dipecahkan secara analitik. Dalam ilmu matematika, ada beberapa metode numerik yang umum digunakan, seperti metode biseksi dan metode regula falsi.
Pengenalan Metode Biseksi dan Regula Falsi
Metode biseksi adalah metode numerik untuk menyelesaikan persamaan matematika dengan mencari akar dari suatu persamaan dengan menggunakan interval. Proses penyelesaian persamaan dalam metode biseksi didasarkan pada prinsip pembagian interval dua kali lipat, sehingga pada setiap pengulangan, interval penyelidikan persamaan menjadi lebih sempit.
Metode biseksi sangat bermanfaat dalam menyelesaikan persamaan matematika yang sulit, atau persamaan matematika yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Metode biseksi sering digunakan dalam bidang matematika dan juga teknik, seperti perkiraan tekanan dalam terowongan angin, pengolahan sinyal digital, dan ketidakseimbangan sistem dalam bidang teknik kimia.
Sedangkan, metode regula falsi juga merupakan metode numerik dalam menyelesaikan persamaan matematika dan juga digunakan dalam beberapa bidang teknik, seperti teknik kimia dan teknik mesin.
Metode regula falsi memperkirakan persamaan akar yang diinginkan dari persamaan yang diinterpolasikan dengan menggunakan suatu teknik bilinear. Dalam regula falsi, dua titik pertama diambil sebagai input dan kemudian digunakan untuk melakukan interpolasi akar persamaan.
Perbedaan metode biseksi dan regula falsi adalah bahwa metode biseksi hanya menggunakan suatu titik yang tepat dan selalu mereduksi interval, sedangkan metode regula falsi menggunakan dua titik, tetapi tidak selalu memperkirakan akar yang lebih baik dalam satu iterasi.
Contoh Penggunaan Metode Biseksi dan Regula Falsi
1. Contoh menggunakan metode biseksi
Misalkan kita ingin menyelesaikan persamaan matematika berikut: x^3 – 4x – 9 = 0
Pertama, kita letakkan persamaan tersebut dalam bentuk f(x) = x^3 – 4x – 9. Kita bisa mengidentifikasi bahwa nilai akar persamaan di antara interval [-3, 3].
Sekarang, kita perlu menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode biseksi untuk menemukan nilai akar dari persamaan tersebut.
Kita mulai dengan membagi interval [-3, 3] menjadi dua interval, yaitu [-3, 0] dan [0, 3]. Selanjutnya, kita mencari tahu dengan memeriksa nilai f(x) pada masing-masing interval. Kita lakukan hal ini dengan menggunakan rumus berikut:
c = (a + b) / 2
f(mid) = f(c)
Dalam rumus tersebut, c menyatakan titik tengah dari interval, yaitu titik x yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan, f(mid) menyatakan nilai f(x) pada titik tengah interval, a dan b menyatakan batas awal dan batas akhir interval.
Dalam kasus persamaan x^3 – 4x – 9 = 0, nilai yang dihasilkan dari titik tengah [-3, 0] adalah -1.5 karena:
c = (-3 + 0) / 2 = -1.5
f(mid) = f(c) = (-1.5)^3 – 4(-1.5) – 9 = -14.125
Nilai yang dihasilkan dari titik tengah [0, 3] adalah 1.5 karena:
c = (0 + 3) / 2 = 1.5
f(mid) = f(c) = (1.5)^3 – 4(1.5) – 9 = -4.375
Sekarang, kita perlu melihat interval mana yang menghasilkan nilai f(x) yang lebih mendekati nol. Interval [-3, 0] menghasilkan nilai yang lebih besar, sedangkan interval [0, 3] menghasilkan nilai yang lebih kecil. Oleh karena itu, kita akan memilih interval [0, 3] sebagai interval yang akan digunakan untuk iterasi berikutnya.
Kita lakukan hal yang sama pada interval [0, 3] dengan membagi interval menjadi interval yang lebih kecil dan membandingkan nilai f(x) pada masing-masing interval. Dalam hal ini, kita akan memilih interval [1.5, 3] sebagai interval yang lebih baik karena menghasilkan nilai yang lebih kecil.
Iterasi terus dilakukan sampai kita mendapatkan nilai akar persamaan yang kita inginkan. Dalam kasus ini, metode biseksi akan memberikan hasil x = 2.080083847.
2. Contoh menggunakan metode regula falsi
Kita akan menggunakan persamaan yang sama dengan contoh sebelumnya, yaitu persamaan x^3 – 4x – 9 = 0.
Sekarang, kita perlu mengatur suatu interval yang akan digunakan sebagai input untuk metode regula falsi. Kita akan menggunakan interval [-4, -3] dan [0, 1].
Langkah selanjutnya adalah memilih titik-titik awal untuk setiap interval yang digunakan. Kita memilih titik awal a1 dan a2 secara arbritrer, misalnya untuk interval [-4,-3], kita memilih a1 = -4 dan a2 = -3, sedangkan untuk interval [0,1], kita memilih a1 = 0 dan a2 = 1.
Setelah nilai awal untuk setiap interval diketahui, kita perlu melakukan interpolasi pada titik awal tersebut. Kita melakukan interpolasi dengan menggunakan rumus regula falsi:
c = a2 – ((f(a2)*(a2 – a1))/(f(a2)-f(a1)))
Dalam rumus tersebut, c menyatakan titik x baru yang akan digunakan dalam iterasi selanjutnya, f(a2) dan f(a1) menyatakan nilai fungsi pada titik awal yang kita gunakan pada interval di mana c ditemukan.
Kita aplikasikan rumus tersebut pada interval [-4, -3]. Maka, kita peroleh nilai c = -3.441860. Selanjutnya, nilai c akan digunakan pada interval [0,1] untuk menghasilkan titik x yang baru.
Iterasi terus dilakukan sampai kita mendapatkan nilai akar yang tepat sesuai dengan kebutuhan kita. Iterasi regula falsi akan menghasilkan nilai akar persamaan x = 2.080083847, sama seperti hasil yang diperoleh dari metode biseksi.
FAQ
1. Apa bedanya antara metode biseksi dan metode regula falsi?
Jawaban: Perbedaan utama antara metode biseksi dan metode regula falsi adalah dalam cara kedua metode memilih interval penyelidikan. Metode biseksi selalu memilih interval yang lebih kecil, sedangkan metode regula falsi memilih interval yang lebih besar. Selain itu, metode biseksi biasanya lebih lambat daripada metode regula falsi.
2. Kapan dan di mana metode biseksi dan regula falsi digunakan?
Jawaban: Metode biseksi dan regula falsi digunakan dalam banyak bidang ilmu, seperti matematika, teknik, dan statistik untuk menyelesaikan masalah numerik yang sulit. Contohnya adalah menggunakan metode biseksi dan regula falsi untuk menghitung takik pada camshaft dalam teknik mesin atau untuk menempatkan pemotong mesin dalam teknik pembuatan alat.
Video Youtube
https://www.youtube.com/watch?v=tpWtL-KfSU0
Video ini menjelaskan metode biseksi dan regula falsi secara rinci dengan menggunakan gambar dan ilustrasi yang mudah dipahami. Video ini juga memberikan contoh praktis mengenai penggunaan metode biseksi dan regula falsi dan memberikan penjelasan selengkapnya mengenai metode biseksi dan regula falsi dan perbedaannya.
