Pernahkah kamu mendengar tentang Distribusi Binomial dan Poisson? Atau mungkin Distribusi Normal dan Eksponen? Bagi sebagian orang, istilah-istilah tersebut mungkin terdengar asing dan rumit. Namun, sebenarnya jika dipelajari dengan seksama, Distribusi tersebut dapat memberikan banyak manfaat bagi kita di kehidupan sehari-hari.
Tutorial : Cara Menghitung Peluang Distribusi Binomial dan Poisson
Distribusi binomial adalah distribusi peluang diskrit yang digunakan untuk menghitung peluang kejadian dalam uji coba statistik yang bersifat biner, yaitu suatu kejadian yang hanya menghasilkan dua kemungkinan hasil saja, yaitu sukses atau gagal. Misalnya, pada saat melempar sebuah koin, kemungkinan hasil yang diperoleh hanya dua, yaitu kepala atau ekor.
Distribusi binomial sangat bermanfaat dalam menjawab banyak pertanyaan sehari-hari, seperti “Berapa peluang saya berhasil dalam ujian pilhan ganda?” atau “Berapa peluang saya memperoleh kartu as dalam lima kali bermain poker?”. Untuk menghitung peluang tersebut, kita perlu menggunakan sebuah rumus matematika yang disebut dengan rumus probabilitas binomial.
Rumus Probabilitas Binomial
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Keterangan:
P(X=k) = peluang kejadian sukses sebanyak k kali
C(n,k) = kombinasi antara n dan k
p = peluang keberhasilan pada setiap percobaan
n = jumlah percobaan
Untuk memahami rumus ini lebih lanjut, mari kita lihat contoh kasus berikut. Bayangkan kita melempar sebuah koin 10 kali. Hitunglah peluang puncak kepala karena didapat pada semua lemparan?
Solusinya adalah sebagai berikut:
– Peluang sukses pada setiap lemparan (p) adalah 0,5
– Jumlah percobaan (n) adalah 10
– Kita ingin menghitung peluang puncak kepala dimana keberhasilan terjadi pada semua lemparan (k=10)
Dalam hal ini, C(10,10) = 1, karena hanya ada satu cara untuk memilih 10 dari 10. Selanjutnya, p = 0,5 dan 1-p = 0,5. Dengan demikian, rumus probabilitas binomial diterapkan sebagai berikut:
P(X=10) = C(10,10) * 0,5^10 * 0,5^0
P(X=10) = 1 * 0,0009765625 * 1
P(X=10) = 0,0009765625 atau sekitar 0,1%
Dari contoh kasus di atas, kita dapat melihat bahwa kegiatan melempar koin dengan angka tertentu dapat memberikan hasil yang tidak begitu besar pada distribusi binomial, tetapi mungkin sedikit rumit ketika mencoba untuk menerapkannya pada contoh yang lebih rumit.
Selain itu, kita juga dapat menggunakan rumus poisson sebagai alternatif untuk menghitung peluang pada distribusi diskrit. Distribusi poisson biasanya digunakan untuk menghitung peluang dari kejadian langka atau sporadis, seperti kemunculan komet atau gempa bumi. Dalam situasi seperti ini, tidak selalu mungkin untuk mengevaluasi kemungkinan dari kejadian tertentu menggunakan distribusi binomial.
Rumus Poisson
P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!
Keterangan:
e = bilangan Euler
λ = rata-rata frekuensi kejadian
k = jumlah kejadian
Contoh kasus pemakaian distribusi poisson adalah ketika suatu kota memiliki jumlah rata-rata 3 kecelakaan mobil tiap minggu. Hitunglah peluang suatu kota telah memiliki empat kecelakaan mobil dalam suatu minggu?
Dalam hal ini, kita akan menggunakan rumus poisson sebagai berikut:
P(X=4) = (e^-3 * 3^4) / 4!
P(X=4) = 0,168
Dari contoh kasus di atas, kita dapat melihat bahwa rumus poisson juga dapat digunakan pada kejadian yang cukup jarang terjadi, dan juga terbilang lebih mudah untuk diaplikasikan pada contoh yang lebih rumit dibandingkan dengan distribusi binomial.
Tutorial : Cara Menghitung Peluang Distribusi Normal dan Eksponen
Distribusi normal adalah distribusi kontinu simetris yang sangan umum digunakan dalam analisis statistik. Distribusi ini dikenal sebagai kurva lonceng karena bentuknya yang menyerupai lonceng. Distribusi ini sering digunakan pada analisis statistik yang melibatkan pengukuran kuantitatif pada populasi.
Misalnya, saat kita membandingkan rata-rata nilai ujian antara dua kelompok data, kita dapat menggunakan distribusi normal untuk membantu menghitung peluang bahwa selisih yang kita amati antara kedua kelompok hanya muncul secara kebetulan.
Rumus Peluang Distribusi Normal
P(a < X < b) = Φ[(b-µ)/σ] - Φ[(a-µ)/σ]
Keterangan:
P = peluang bahwa X berada di antara dua titik (a dan b)
Φ = fungsi distribusi normal standar
a = titik batas bawah
b = titik batas atas
μ =nilai rata-rata pengukuran
σ = standar deviasi pengukuran
Contoh kasus penggunaan distribusi normal adalah ketika kita ingin mengukur berapa persen siswa pada sebuah sekolah yang memiliki tinggi badan antara 170 cm dan 175 cm, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa tersebut mengikuti distribusi normal. Jika diketahui nilai rata-ratanya adalah 165 cm dan standar deviasinya adalah 12 cm, maka peluang bahwa seorang siswa memiliki tinggi badan antara 170 cm dan 175 cm dapat dihitung sebagai berikut:
P(170 < X < 175) = Φ[(175-165)/12] - Φ[(170-165)/12]
P(170 < X < 175) = Φ[0,833] - Φ[0,416]
P(170 < X < 175) = 0,296 - 0,161
P(170 < X < 175) = 0,135 atau sekitar 13,5%
Dari contoh kasus di atas, kita dapat melihat bahwa distribusi normal sangat bermanfaat dalam mengukur peluang pada data yang bersifat kuantitatif. Selain itu, distribusi normal juga bermanfaat dalam banyak bidang, seperti dalam akuntansi, ekonomi, dan fisika.
Selain distribusi normal, distribusi eksponen juga sering digunakan dalam analisis statistik. Distribusi eksponen menyajikan kecepatan suatu kejadian yang jarang terjadi dalam suatu rentang waktu tertentu. Misalnya, kecepatan kegagalan pada suatu produk atau sistem.
Rumus Peluang Distribusi Eksponen
P(X > k) = e^-λk
Keterangan:
P = peluang kejadian
e = bilangan Euler
λ = kecepatan jenis kejadian
k = waktu pengamatan
Contoh pemakaian distribusi eksponen adalah ketika kita ingin menghitung peluang bahwa sebuah perusahaan akan mengalami kegagalan dalam waktu lebih dari 5 tahun. Jika rata-rata kecepatan kegagalan perusahaan tersebut adalah 0,1 kegagalan per tahun, maka peluang kegagalan dalam lima tahun dapat dicari sebagai berikut:
P(X > 5) = e^-(0,1*5)
P(X > 5) = 0,607 atau sekitar 60,7%
Dari contoh kasus di atas, kita dapat melihat bahwa distribusi eksponen dapat membantu mendapatkan peluang pada kejadian yang jarang terjadi dalam suatu rentang waktu tertentu, seperti kegagalan pada suatu sistem.
FAQ
1. Apa perbedaan antara distribusi diskrit dan distribusi kontinu?
Jawaban: Distribusi diskrit adalah distribusi peluang yang biasanya digunakan pada data atau kejadian diskrit atau berikut nilai terbatas dan terpisah, sementara distribusi kontinu adalah distribusi peluang yang digunakan pada data kuantitatif atau kejadian yang terus dalam rentang nilai tertentu.
2. Apa kegunaan distribusi normal dalam analisis statistik?
Jawaban: Distribusi normal adalah distribusi peluang yang sering digunakan pada analisis statistik yang melibatkan pengukuran kuantitatif pada populasi. Distribusi ini bermanfaat untuk membantu menghitung peluang bahwa selisih yang kita amati antara dua kelompok hanya muncul secara kebetulan.
